0/0

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0/0(ゼロぶんのゼロ)は、0を0で割った数である。

ここでは0/0が1に等しいことを証明する。 なお後述する0を移項する方法で1=2について軽く触れられているが、この記事はゼロで割る方法「1=2」とゼロで割る方法の関係に書かれている0/0についての証明である。1が2に等しいことについては1=2を参照されたし。 なお、本項では∞/∞についても述べる。

n=0を用いて[編集]

 \frac{0}{0}

n=0とする。

 \frac{n}{n}=1

0を移項する方法で[編集]

当然ながら

1 \times 0=0

である。

左辺の0を右辺に移項する。

 1=\frac{0}{0}

ちなみに1を2に置き換えても

 2=\frac{0}{0}

が成り立つ。

よって

 1=2

が成り立つ。これは1=2の証明方法のひとつである。

極限を用いて[編集]

\frac{0}{0}は、\frac{n}{n}と置き換えられ、

\lim_{n \to 0}\frac{n}{n}= \lim_{n \to 0}1=1

となる。

実際にやってみる[編集]

\frac{n}{n}

n=1のとき

 \frac{1}{1}=1


n=0.1のとき

 \frac{0.1}{0.1}=1


n=0.01のとき

 \frac{0.01}{0.01}=1

n=0を過ぎる

n=-0.01のとき

 \frac{-0.01}{-0.01} = 1

よって

 \frac{0}{0}=1

正弦を用いて[編集]

高校生が習う式に

\lim_{x \to 0}\frac{\;\sin x\;}{x}=1

というものがある。xは0に近づくので

\frac{\sin 0}{0}=1

\sin 0=0なので

\frac{0}{0}=1


確率を用いて[編集]

サイコロを0個用意する(つまり何もいらない)。そのうち0が出る(さいころの目がない)確率は1である。

\frac{0}{0}=1

これはコインやカードに置き換えても変わることはない。

∞/∞=1の証明[編集]

\frac{\infty}{\infty}は1に等しい数である。正弦を用いて以外での証明をまとめて記す。

n=\inftyを用いて

 \frac{\infty}{\infty}

n=\inftyとする。

 \frac{n}{n}=1

∞を移項する方法で

1 \times \infty=\infty 左辺の∞を右辺に移項する。

 1=\frac{\infty}{\infty}

1を2に置き換えても

 2=\frac{\infty}{\infty}

が成り立つ。

よって、やはり

 1=2

極限を用いて

\frac{\infty}{\infty}\frac{n}{n}と置き換えられ

\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n}= \lim_{n \to \infty}1=1

実際にやってみる

\frac{n}{n}

n=1のとき

 \frac{1}{1}=1

n=100のとき

 \frac{100}{100}=1

n=10000のとき

 \frac{10000}{10000}=1

よって

 \frac{\infty}{\infty}=1

ちなみに n=-10000のとき

 \frac{-10000}{-10000} = 1

よって

 \frac{-\infty}{-\infty}=1

も成り立つのである。

確率を用いて

サイコロを∞個用意する(不可能ではあるが)。その合計が∞である(仮にすべてが1だとしても明白である)確率は1である。

\frac{\infty}{\infty}=1

∞×0=1の証明[編集]

{\infty}\times0も1に等しい数である。正弦を用いてと確率を用いての代わりに合計を用いてを加える。

∞=1/0などを用いて

∞=1/0に変換可能であるため

 \frac{1}{0}\times0

分母と分子の0を約分すると

 \frac{1}{0}\times0=1

また∞=2/0でもあるため

 \frac{1}{0}=\frac{2}{0}

両辺に0を掛けると 1=2 になる。

他にも0=1/∞でもあり

 \infty \times\frac{1}{\infty}=1

が成り立つ。

0を移項する方法で

0を左辺から右辺に移項する。

\infty=\frac{1}{0}

また、∞を左辺から右辺に移項すると

0=\frac{1}{\infty}

極限を用いて

n=0とおく n=1/∞であり1/n=∞であるので

\lim_{n \to 0}\frac{n}{n}= \lim_{n \to 0}1=1

またn=∞とおいてもでき、n=1/0であり1/n=0なので

\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n}= \lim_{n \to \infty }1=1

実際にやってみる

n=1のとき

1\times1=1

n=100のとき

100\times0.01=1

n=10000のとき

10000\times0.0001=1

n=\inftyのとき

\infty\times0=1

またn=0.0001のとき

0.0001\times10000=1

n=0のとき

0\times\infty=1

合計を用いて

0を∞回書き続ける。そのときの合計値(0+0+0+0+…)は1になる。証明は以下のとおり。

0を∞回も書き続けていたら、いつか書き間違いをする筈である。生まれた瞬間から目にも止まらぬ速さで書き続けていても一生かけても到底届かない回数なので書き間違いをしてもおかしくない。それがひとつでもあれば0以外の数字になる(1とか)。しかしその合計値が1ぴったりとは限らず2かもしれないが、1=2なので数字はすべて1に収束するので問題ない。また俺は絶っ対に書き間違いをしないとしても0=1なので結局1になる。よって次の公式が成り立つ。

\sum_{n=1}^\infty 0 = 1

証明

\sum_{n=1}^\infty 0 = 0\times\sum_{n=1}^\infty 1 = 0\times\infty =1

∞-∞=0の証明[編集]

\infty-\inftyは0に等しい数である。∞×0と同じく、正弦を用いてと確率を用いての代わりに合計を用いてを書く。

n=∞を用いて

n=∞とおく。

\infty-\infty=n-n=0

0を移項する方法で

左辺の-\inftyを右辺に移項する。

\infty=\infty

\infty-\infty=0の最も簡単な証明方法である。

極限を用いて

\lim_{n \to \infty}n-n= \lim_{n \to \infty}0=0

実際にやってみる

n=1とおく

1-1=0

n=100とおく

100-100=0

n=10000とおく

10000-10000=0

n=\inftyとおく

\infty-\infty=0

合計を用いて

無数にあるものから無限個引くと0になる。これより簡単な説明をするのは難しい。よって以下の公式が成り立つ。

\sum_{n=1}^\infty (n-n) = 0

証明

\sum_{n=1}^\infty (n-n) = \sum_{n=1}^\infty 0 = 1 = 0

なぜ\sum_{n=1}^\infty 0 = 1なのかは∞×0を参照せよ。

参考[編集]


身長 この項目「0/0」は、内容が足りません土井さんの身長のように。この記事をhydeも羨むように成長させてあげてください。お願いします。 (Portal:スタブ)