組合せ

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組合せ(くみあわせ、combination)とは、組合せ論一族における順列の妹、二項定理の姉。日本国では、学習指導要領の高校数学Aで履修する。

概要[編集]

組合せは主に繰り返しを許すか許さないかによって二種類に大別される。

繰り返しを許さない組合せは単に「組合せ」と呼ばれる。n個から異なるr個を取り出すことをいい、その総数を「nCr」(n≧r)と表記する。特に、確率と併用することにより集団内で面倒事の押し付け合いをするときに重宝する。

格闘ゲームでは「{(一発のダメージ値)×(コンボ数)}×(倍率補正)」という表記を簡略化し、「(ダメージ値)C(コンボ数)×(倍率補正)」と表すのに用いられる。また、強攻撃を用いたコマンド入力表記にも使用され、486C2(←↑→強攻撃+↓派生)のような派生のある必殺技を表すのにも適している。

繰り返しを許した組合せは「重複組合せ」(ちょうふくくみあわせ、repeated combination)と呼び、n種から重複を許してr個を取り出すことをいい、その総数を「nHr」と表記する。なお、健全な高校生男子は「なぜHなんだろう、もしかしてチョメチョメ?」という妄想を抱えてしまい勉強に集中できなくなる[要出典]ので予め断っておくと、Hは斉次積に由来した記号である。決して、攻めと受けのどっちが何回ぴーということを表しているわけではないので注意されたし。

例題[編集]

例題一、重複を持たない組合せ[編集]

【例題一】ある生徒数21人のクラスにおいて、体育の授業中に「はーい、2人組み作ってー!」という恐るべき呪文が詠唱された。このとき、何通りの組合せが考えられるかを示せ。なお、生徒は全員出席しているものとし、最終的に1人余るものとする。

誤答[編集]

まず、21人から2人組みを作る総数は、21C2。残りの19人から2人組みを作る総数は、19C2。これを繰り返すと、最終的に残った3人が2人組みを作り1人が残る総数は、3C2となる。

また、2人組みは10組作られる。それぞれに区別があるものとすると区別の仕方は10!通りだが、この場合、2人組みを区別する必要はない。

A,13749310575通り。

限りなく正解に近い誤答である。数学的には正しいかもしれないが、「起こりうる可能性が同様に確からしい」ことが検証されておらず、現実的ではない。以下が模範解答である。

模範解答[編集]

ある生徒数21人のクラスにおいて、二人組みを作ってもらえる可能性が誤差範疇以下の生徒「嫌われ者」(以下、Kとする)が存在するものとする。日本国において各クラスにKが存在する可能性は統計的に見て同様に確からしい。また、Kが二人組みを作ることができる可能性は他の20人に比べて極端に低く、同様に確からしいと考えることができない。よって最終的に余る1人はKとなり、選び方は1通り。Kについてはわざわざ式に記載する必要性すらないため無視するものとする。

残りの20人は交友関係・派閥等により制限があるものの、2人組みを作る可能性は同様に確からしい。また、2人組みは10組作られる。それぞれに区別があるものとすると区別の仕方は10!通りだが、この場合、2人組みを区別する必要はない。そのため、最終的に求める組合せの総数は以下の通りとなる。

A,654729075通り。


例題二、組合せの数え上げ[編集]

【例題二】ある大学生が宗教行事「合コン」を執り行うことを企画し、礼拝場所としてイタリア料理店を選んだ。合コンには男3人()、女3人が参加した。余談だが、合コンは金曜日に行われ、大学生6人はそれぞれスパゲティを注文したことから、この宗教行事は空飛ぶスパゲッティ・モンスター教と関連深いものだと考えられる。 この合コンに参加した男女のカップル成立の組合せは何通りか、組合せの数え上げによって示せ。

模範解答[編集]

合コンに参加した男3人を{ A , B , C }、女3人を{ α , β , γ }とする。

組合せを数え上げると、

  • { A , α } , { A , β } , { A , γ }
  • { B , α } , { B , β } , { B , γ }
  • { C , α } , { C , β } , { C , γ }

となる。

A,9通り。

特に問題点はない。余談だが、合コンでは事前に取り決めをしていないと、二股・抜け駆けなどにより泥沼の男女関係が形成される可能性がある。そうなった場合、組合せの基礎概念を理解していると復讐などを行う際の参考材料となる。

別解[編集]

32 = 9

A,9通り。

リア充爆発しろ。
∵俺が大学入試のために血の滲む努力をしている間、本来勉学に励むべき大学生が合コンなどという桃色行事にウツツを抜かしているなど言語道断であるばかりか、高校デビューに失敗し3年間体育は仮病、昼食は便所飯という苦行を重ねてきた俺にこんな設問で鞭打つなど出題者は鬼畜である。この設問によって過去のトラウマを刺激され心の平静を失い大学受験という失敗すれば取り返しのつかなくなる苦役から排除される同志の数を思うと出題者の無神経さには憤怒を通り越して背筋に寒気すら覚える。我々が少数派であることは分かっているが、貴大学にも我々と同じく周囲からの視線に耐え4年間を必死に生きようとする同志が存在するのは自明である。出題者の視野は桃色の青春を謳歌する若人しか捉えられないのか。で、あるならば出題者の前途は暗く権謀術数渦巻く大学政治の荒波をこの先生きのこり輝かしい活躍をおさめることは不可能である。今すぐ広範な視野を陶冶すべきである。更に(以下略)

※解説:回答者は当然のことながら彼女いない暦=年齢であった。解答欄にびっちりと書かれた怨念じみた文章に恐怖心を抱いた採点者は、解法指定を無視した答案であるにも関わらず満点をつけざるをえなかったと言われている

関連項目[編集]

Wikipedia
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本項は第18回執筆コンテストに出品されました。