栗まんじゅう問題

出典: へっぽこ実験ウィキ『八百科事典（アンサイクロペディア）』

ひよこ陛下
秀逸な記事

この記事は秀逸な記事だよ。書いた本人とひよこ陛下が言うんだから間違いない。より素晴らしい記事にできるってんなら、してみやがってください。お願いしましたよ。
ユーモア欠落症患者のために、ウィキペディアの専門家気取りたちが「栗まんじゅう問題」の項目を執筆しています。

栗まんじゅう問題（くりまんじゅうもんだい）とは、漫画「ドラえもん」に登場するひみつ道具「バイバイン」によって増殖を続ける栗まんじゅうの行く末を心配して貴重な時間を浪費するという、非生産的な活動のことである。

数々の学者がこの問題に取り組み、より生産的に使えるはずの時間を無駄にしてきた。その経済的な損失は計り知れない。産業を低迷させるテロあるいは陰謀とも言える。なお、「ケロロ軍曹」や山本弘の雑記においてもこの問題を検証した記述が見られるなど、その知名度は高い。その発祥は1929年、ロシアのベリヤーエフが書いた小説『永久パン』だといわれている。

これがどれほどの問題を持っているかを理解しやすくするために、この項目では実際に時間を浪費してみることにする。なお栗の味を覚えていない福岡・佐賀の両県民は、「湖月堂の栗饅頭」を標本とし考査すること。

目次

[編集] 前提条件

バイバインは、一滴たらすとその物体を5分ごとに倍に分裂させる薬品である。物語は以下のように展開する。

  • のび太が一つしかない栗まんじゅうを食べようかどうか悩んでいる。
  • ドラえもんがバイバインを栗まんじゅうにかける。栗まんじゅうは分裂を始める（5分ごとに2倍に、つまり5分ごとに2のn乗になる）
  • のび太はしばらく放置し、増えたところで食べようとするが、食べきれない。友人にも助けを求めるが分裂速度に追いつかない。
  • 栗まんじゅうは増え続け、のび太はドラえもんに泣きつく。
  • 困ったドラえもんは小型ロケットで宇宙空間に放出してしまう。

物語はここで終わるが、問題はこのあと、栗まんじゅうはどうなってしまったのであろうか。

ここで、前提条件として、バイバインの特性について確認しておく。

  • 5分ごとに栗まんじゅうを分裂させ、数を2倍に増やす。
  • 食べてしまうとそれ以上の分裂はない

[編集] 問題点

当面の論点は、宇宙空間に放出された栗まんじゅうがその後どうなってしまうのか、である。しかし、このためには解決しなければならない問題が複数ある。

[編集] 質量保存の法則

まず、議論をしやすくするため、栗まんじゅうの重さを100グラム、体積を100立方センチメートルと仮定する。

言うまでもないが、質量保存の法則に従う限り、栗まんじゅうを無から生み出すことはできない。もし大気を栗まんじゅうの材料にすれば、5時間半で地球の大気は使い尽くされてしまう。地球そのものを栗まんじゅうの材料にすると、7時間で地球は栗まんじゅうのカタマリと化す。12時間後には銀河系を、15時間後には人類が観測可能な宇宙全てを飲み込んでしまうことになる。まことに危険なひみつ道具である。

もちろん、相対論の壁を考えればこれだけ短時間で増殖することは不可能である。したがって、全宇宙を栗まんじゅうに変換するのに要する時間は150億年以上、ということになる。

現在は、質量保存の法則を守れば議論が進まないことが知られており、この問題は丁重に無視されている。

[編集] 元素の問題

栗まんじゅうは主に炭素、水素、酸素、窒素などから構成され、これよりも「重い」元素は少量である。一方で宇宙に存在する元素の構成比は栗まんじゅうのそれとは大きく異なっている。従って、他の元素から栗まんじゅうの元素を得るためには元素の変換が必要であり、現在知られている方法としては核融合と核分裂があるのみである。

大気を原料とする場合、上記のような元素は比較的豊富であり、初期のうちに限って言えば大きな問題は起きないと考えられるが、地球自体を材料とし始めると話は変わる。地殻を構成する主な元素は珪素やアルミニウム、鉄などであり、より深い層ではもっと重い元素が増える。鉄よりも軽い元素を、核分裂によってより軽い元素に変換するためには膨大なエネルギーを投入する必要があり、鉄より重い元素を核分裂させて得られるエネルギー（これは現在の原子力エネルギーと同じ原理である）があるとしても、大幅なエネルギーの不足が発生すると考えられる（恐らく太陽光を吸収することになるだろうが、エネルギー源としては甚だ不足である）。また中性子が余るため、恐らく中性子線を放出して周囲での人間の生存は不可能になるであろう。

栗まんじゅう球の大きさが宇宙規模になると、また話は変わる。宇宙を構成する元素の大半は水素やこれに近い軽い元素であるが、これを栗まんじゅうの原材料とするためには核融合が必要であり、その過程で膨大なエネルギーを放出することとなる。場合によっては新たな恒星が一つ発生したのと同じような現象が起きる可能性もある。なお、このエネルギーは上記の「地球を材料とする」場合に必要なエネルギーとの間で収支のバランスが得られる可能性がある。

なお、宇宙全体を栗まんじゅう化する場合のエネルギー収支については不明な点が多く、何とも言えないというのが現状である。

[編集] 増殖を止める方法

食べてしまうと増殖が止まる、という条件が不明である。形が崩れれば良いのであれば、ドラえもんのすべきことは急いで栗まんじゅうを踏みつぶすことであろう。唾液が関連する可能性もあるが、そうであるなら、まんじゅうをいちど口に含み、唾液をつけたらはき出す、という行為を続ければ良かったのである。

まんじゅうを食べるということはまんじゅうを体内（特に胃袋）に放り込むということである。体内には消化酵素が多種類存在し、食した物の分解に役立っている。したがって、食べてしまうと増殖が止まる理由として、これらの消化酵素がバイバインの有効成分を打ち消す作用をもつ可能性が示唆されている（この仮説を以後「消化酵素仮説」と呼ぶ）。ドラえもんが唾液をつけたら吐き出すという行為を採択しなかった理由としては、唾液中に含まれる消化酵素の中にバイバインの有効成分に影響を与える酵素が存在しないことをドラえもんが既知であった可能性と、ドラえもんの体内に消化酵素が存在しないという２つの可能性が考えられる。

「消化酵素仮説」に基づくと、まんじゅうの増殖を止める有効な方法としては、消化酵素を含む液をまんじゅうにかけ、その酵素の最適温度となる環境に置くことが考えられる。ただし、もしこうした方法が適切とされているのであれば、20世紀ですら存在するPL法の観点からしても、バイバインは（安全対策として）分解用の薬剤と共に販売されるべきであり、ドラえもんがその薬剤を持っていなかった点にも着目する必要がある。これが販売側の怠慢であるのか、ドラえもんのミスであるのか、消化酵素仮説そのものを否定する証拠であるのか、明確な結論は出ていない。

単に形が崩れれば増殖が抑制されるのか、消化酵素が介在しているのか、あるいは別の機構が存在するのか、なとといったバイバインの効力を抑える理由を考察し、解明することが、まんじゅうの増殖を止める方法だけでなく、その後の分裂の様子を考える上で必要不可欠であると思われる。

[編集] 膨張速度の問題

とりあえず質量保存の法則は無視しよう。栗まんじゅうは、なにも無いところから涌いて出るように増えて行くとする。それでは、ひたすら増殖を続ける栗まんじゅうは、その後どうなるのであろうか。

栗まんじゅうがその場で（地球との位置関係を変えずに）増殖を続ければ、数時間後には「栗まんじゅう球」の直径は地球の直径をこえ、地球は飲み込まれてしまう。地球から一定の速度をもって打ち出したとしても「運命の時」を遅らせるのみであり、いずれ地球はのみこまれる。栗まんじゅう球の直径は15分ごとに2倍に、指数的に増えてゆくためである。ただし、放出速度が光速度に近づけばローレンツ変換によって見かけ上の時間の経過が遅くなり、場合によっては「運命の時」が半永久的にやってこない（少なくとも宇宙の寿命より先）とすることも可能であろう。

[編集] 数式

分裂開始から充分に時間が経過した後の栗まんじゅう球の直径および膨張速度は、以下の数式により求められる。

まず、分裂開始t秒後における栗まんじゅう球の体積をV(t)、栗まんじゅう球の半径をr(t)と置くと

V(t) = \frac{4\pi r^3(t)}{3} ……(1)

である。式 (1) を変形して

r(t) = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}} V^{\frac{1}{3}} (t) ……(1)'

を求める。この時V(t) の値は、t=0における栗まんじゅうの初期値をV0とすると

V(t) = 2^{\left \lfloor \frac{t}{T} \right \rfloor } V_0 ……(2)
T=300 sec:バイバイン増殖定数

となる。栗まんじゅうの増加量は上の式で示されるように離散的な数値を取るが、 以下では計算の便宜上栗まんじゅうの増加量を連続量、すなわち

V(t) = 2^{\frac{t}{T}} V_0 ……(2)'

と見なす（充分にtが大きくなれば、上の式 (2)' は結局式 (2) に収束する）。式 (2) 'を式 (1)' に代入することで、

r(t) = \sqrt[3]{\frac{3V_0}{4\pi}}\,2^{\frac{t}{3T}}

が求まる。ここでt=0におけるrをr0とすれば、式 (1)' より

r(t) = r_0\,2^{\frac{t}{3T}} ……(3)

であり、これにより時刻tにおける栗まんじゅう球の半径が求められた。

式 (3) の時間微分により栗まんじゅう球の膨張速度

\frac{dr(t)}{dt} = \ln 2^{\frac{1}{3T}} \cdot r_0 2^{\frac{t}{3T}} ……(3)'

が得られる。さらにここで上式 (3)' に (3) を代入すれば、

\frac{dr}{dt}= \ln 2^{\frac{1}{3T}} \cdot r = \frac{\ln 2}{3T}\,r

となり、この右辺が径がrの時の表面の速度となる。この式は球体内部にも適用でき、栗まんじゅう球内部のある点を通過する栗まんじゅうの速度は、中心からの距離 r に比例することになる。なお、これはほぼ7.7016×10-4·rである。

上の式 (3) および式 (3)' は、栗まんじゅう球の直径および膨張速度が15分ごとに倍増していくことを示す。圧縮を考慮しなければ、栗まんじゅう球の初期半径を2.88cmと仮定すると栗まんじゅうの膨張速度は分裂開始4時間45分後には新幹線「のぞみ号」の最高速度である時速270kmを越え、その30分後には音速に達する。相対論的な影響を一切考慮しなければ、11時間後には光速を突破する。

[編集] 相対論の壁

表面速度が光速度よりも十分に遅い場合は上記の式のままで良い。しかし、栗まんじゅう球のサイズが一定以上になるとそうではなくなり、ローレンツ収縮が無視できない存在となる。

相対論では光速度を超える現象は禁止されているが、栗まんじゅう球においては次のように適用される。

  • 栗まんじゅう球において、個々の栗まんじゅうを加速するのは、内側の栗まんじゅうの膨張力である。
  • 光速度に近づいた栗まんじゅうは、ローレンツ短縮分だけ薄くなる（見かけ上）。
  • 薄くなった栗まんじゅうは、その分だけ膨張力が減る。また、時間経過が遅くなり（見かけ上）、分裂速度も下がる。

上記のように、光速度に近づくほど膨張力も0に近づくので、球体の膨張を加速させることができなくなる。仮に光速度に達してしまうと（相対論上は禁止されているが）膨張力が完全に0になり、内側から押されることしかできなくなる。

結果、栗まんじゅう球の膨張速度は光速度に収束してゆく。

l = l_{0} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}
t = t_{0} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}
l=見かけ上の長さ
l0=相対速度が0の時の長さ
t=見かけ上の時間の速さ
t0=相対速度が0の時の時間の速さ
v=見かけ上の移動速度
c=光速度

※誰か、もう一歩踏み込んだ計算をお願いします

このモデルは、ほぼ光速度で膨張し続ける栗まんじゅう球という、あまり想像したくないシロモノを描き出している。なにしろこの栗まんじゅう球は衝突直前まで目に見えない（観測できない）のである。また衝撃光（オプティックブーム）の存在も忘れてはならない。まったくもって想像したくないシロモノである。

[編集] 栗まんじゅうを破壊する要因

一方で、栗まんじゅう自体が破壊されてしまう可能性についても考慮すべきである。これは、破壊によって分裂が停止する説にとって重要である。

[編集] 自重での崩壊

増殖が続くうちに自重で「栗まんじゅう球」の中心部が破壊され、やがて一つの天体を形成して増殖が止まる可能性がある。ただし、外縁部に近づくほど高速で移動している栗まんじゅうの一部が栗まんじゅう球の脱出速度をこえる可能性があり、自重での崩壊を検討することを難しくしている。

崩壊が一定以上進めば恒星が生まれ、さらにはブラックホール化するとも考えられる。ただし、恒星誕生時に起きるさまざまな現象により残った栗まんじゅうが破壊されたり吹き飛ばされる可能性もあり、ブラックホールまで行けないのではないか、とする意見もある。

[編集] 検証1 - 脱出速度との関係

栗まんじゅう球の表面からの脱出速度 V は

V=\sqrt{\frac{2GM}{r}}

で求められる。

ここで栗まんじゅう球の比重を1.0×103kg/m3と仮定する。ある瞬間の径R（m）に対しての栗まんじゅう球の質量は

M = \frac{4}{3}\pi R^{3} \times 1.0\times 10 ^{3} kg

であり、r=Rであるから、

V = \sqrt{\frac{8G \pi R^{2} \times 10^{3}}{3}}

である。Gは6.673×10-11m3s-2kg-1だから、V=7.477×10-4×R(m/s) となる。

一方で表面速度は7.7016×10-4×R(m/s) であるから、表面の栗まんじゅうは常に脱出速度を上回っていることになる。ただし、栗まんじゅう球が散乱することはない。球の膨張は指数的に加速しており、表面の栗まんじゅうは常に内側の栗まんじゅうと接することになり、全体として球体を保ち続ける。

なお、栗まんじゅうの増殖が順調に進めば良いが、圧力による破壊が中央部から始まり、膨張速度が徐々に減少した場合、表面の栗まんじゅうも脱出速度を超えることができない可能性がある（脱出速度は密度の平方根に比例することを申し添えておく）。

[編集] 検証2 - 重力による栗まんじゅうの破壊

栗まんじゅう球の膨張速度は別として、球の径がどのくらいになれば全ての栗まんじゅうが破壊され、膨張が止まるのであろうか。

栗まんじゅうがどの程度の加速度を受けると破壊されるかが明確ではないが、試しに1リットル入りペットボトル（栗まんじゅうの10倍の重さ）を載せてみると簡単に潰れたため、とりあえず表面の重力が10G（地球の重力の10倍）に達すると破壊されると仮定する。

ある天体の表面での重力加速度 g は密度と半径に比例する。すなわち、重力が10Gになるのは

  1. 密度が地球と同程度 (5.5×103kg/m3) ならば、地球の径の10倍。
  2. 密度が1.0×103kg/m3なら、地球の径の約55倍

になる。栗まんじゅう球がこの径に達すると、全ての栗まんじゅうが破壊されて増殖が停止する。余談だが、2.の半径はほぼ地球と月の距離と同じである。

1.の質量は地球の1,000倍となるが、恒星化するには質量が足りない。もし分裂が順調に進んでいれば、8時間後にこの径に到達することになるが、内部では崩壊が始まっているため、実際にはもっと長い時間がかかると考えられる。

2.の質量は地球の30,000倍の質量であり、恒星化するために最低限の質量（太陽の1/10以上）を持つことになるが、こちらの数字はあまり現実的ではない。分裂が順調に進めば8時間半後にこの径に到達する。

[編集] 他の天体への衝突

地球はもちろん、太陽の引力や熱によって、十分に分裂する前に全ての栗まんじゅうが破壊されてしまうのではないか、とする意見がある。

[編集] 加速度の問題

栗まんじゅうが分裂する際、その栗まんじゅうはどのように加速するのであろうか。全体に等しい加速度がかかるのであれば、どれほど強い加速度がかかっても問題は無いが、一点から押されるような加速の場合、栗まんじゅうが破壊される恐れがある。このため、外縁部では増殖が進まないのではないか、とする意見がある。

[編集] 衝突による破壊

栗まんじゅうは、初期のうちは一つにまとまることなく、宇宙空間で散乱しながら分裂を続けるだろう。しかし増殖が進むにつれ、栗まんじゅうの間にある空間は埋め尽くされ、互いに衝突を始めるようになる。こうした衝突で栗まんじゅうが破壊され、単純な倍々では増殖しないのではないか、とする意見がある。

[編集] 太陽光など

そもそも、宇宙空間には栗まんじゅうを破壊する要素が無数に存在する。真空状態により栗まんじゅうの水分が蒸発し、大気を通らない太陽光が栗まんじゅうをこんがりと焼き上げてしまうだろう。ぼろぼろになった栗まんじゅうがまだ分裂できるのかどうか、疑問な点が多い。

また、打ち上げ時に気圧を急激に下げれば内部の空気や水蒸気が逃げるのが間に合わず、栗まんじゅうが破裂してしまうのではないか、とする意見もある。そもそも、打ち上げ時のGに耐えられるかどうかすらわからない。結果として、上記のような問題は起きないのではないか、とも考えられる。


[編集] ホワイトホール仮説による古典論からの脱却

ここまでの議論はいわゆる古典論である。近年の研究により、これら古典論では不可能と考えられてきた問題に一応の答えを出せている。

[編集] 質量保存の法則に対する反論及び問題点

アインシュタインによれば、質量はエネルギーと等価である。

E = mc2

この関係の発見により、これまで理論的に不可能と思われていた栗まんじゅうの増殖が理論的に可能になった。即ち、バイバインを与えることによって、栗まんじゅうの内部からそれに等しいエネルギーが湧き出ればいいのである。このモデルでは、バイバインはエネルギーの湧き出しを与えると同時に、そのエネルギーを湧き出す点の近傍に存在する粒子に変換する性質を持っているとされる。このエネルギーの湧き出しを、一種のホワイトホールだと考える学派もある。ホワイトホール説が出た当時のモデルはみな連続的な変化を元にして考えていたため、次のような反論もあった。バイバインによって質量は指数関数的に増加する。即ち湧き出すエネルギーも指数関数的に増加する。このモデルではホワイトホールの放出するエネルギーも同じように増加しなければならないが、それはホワイトホールの対存在としてのブラックホールの性質を考えるとおかしい。この反論に対しては、バイバインがもたらす変化が不連続変化であることを考えれば一応の解決を見る。バイバインのかかった栗まんじゅうは、５分に一回分裂をする。このときに、エネルギーの湧き出す点も分裂するのである。つまり、放出されるエネルギーが増えるのではなく、放出されるエネルギーは常に一定で、湧き出す点が増えてゆくのである。

栗まんじゅうの不連続的な変化は未だ謎が多く議論の余地が残っている。 また、このモデルでは、メカニズムは謎なままだが、同時に元素の問題も説明できている。

[編集] 膨張圧と自己重力の最新研究

古典論では突破できなかった膨張圧や自己重力の問題について、栗まんじゅうホワイトホール化理論によって次のように考えられる。

[編集] 　無限時間後の圧平衡

無限時間後の栗まんじゅうについての考察である。古典論の範囲では常に栗まんじゅうは巨大化しつづけていた。それでは宇宙全体のエネルギーの平衡が保てない。ホワイトホール仮説では、自己重力を増殖し続ける栗まんじゅう球が、いつかは自己重力に耐え切れなくなってブラックホール化すると考えている。ブラックホール内部に取り込まれた栗まんじゅうは、その中でエネルギー(質量）を放出しつつ吸収するエネルギー平衡の状態になり、宇宙から独立された一つの機関になると考えられている。この平衡が保たれた状態を栗まんじゅう特異点と呼び、そしてこの存在こそが、近年ささやかれているダークマターやダークエネルギーの正体なのではないかと言われているのだ。

このモデルの種々問題と、現時点の推察は次の通り

湧き出す点が無数に増え続けるこのモデルで全体が一つのブラックホールになるだけでは釣り合いが取れないのではないか。 これに対しては栗まんじゅう特異点への進化のプロセスの解明が重要である。これについては後述する。栗まんじゅう球のすべてが一気に栗まんじゅう特異点へと進化したならば、栗まんじゅうから湧き出す増殖されたエネルギーが自己の重力で潰れてしまうのは言うまでもない。大事なのは一斉に潰れることが可能か、である。

[編集] 栗まんじゅう特異点への進化のプロセス

十分時間が経過した後の栗まんじゅう球について考える。このときの栗まんじゅうは大きさが十分に大きく、中心と表面の距離が十分大きい。ホワイトホール理論によれば、分裂する栗まんじゅうは一つ一つが独立して分裂する。するとこの場合内側の栗まんじゅうと表面付近の栗まんじゅうは全く独立した系にあると考えられ、よって全く独立した時刻になっているはずである。つまりこの状態では栗まんじゅう球全体として連続的に膨張してるモデルが再び採用される。現在多くの学者が研究を重ねているが、未だ明確な答えは出ていない。

[編集] 特殊相対性理論を超える考え方

質量保存則が成り立たないので、特殊相対性理論も成り立たない。作中で栗まんじゅうは、22世紀のロケットを使って打ち上げられており、その速度は光速度を超える速度であると仮定する。この場合「ウラシマ効果」に基づき、時間がほとんど進まず、栗まんじゅうは増えない。すなわち「ロケット内で超光速移動中の５分間」は、地球の実時間上では、ものすごく長い時間になると考えることができる。また宇宙が光速度以上で膨張しているとすると、「饅頭増殖速度＜ロケット速度＜宇宙膨張速度」となり、ドラえもんの栗まんじゅう処理方法は、正しいと言える。

[編集] その他の考え方

  • スモールライトで、小さくしてまとめて食べてしまえばいい。
  • 食べる人をバイバインで増やしたらどうなる?
  • なぜ、のび太などがたった一個の栗饅頭を食べられなかったのか?
  • そもそも、ふえるミラーで増やせば良かったのでは?
  • つーか大気圏で燃え尽きるんじゃね？
  • 宇宙に出る前に５分経過したら風呂敷から栗まんじゅうがあふれ出る危険がある

[編集] 結論

こんな馬鹿なことを考えていられる日本は平和な国である。めでたしめでたし。

「……ああ、これも小泉失政のツケか――。」
~ 栗まんじゅう問題 について、日刊ゲンダイ

[編集] 関連項目


この栗まんじゅう問題は愛に飢えています。優しく育ててくれる人がすごく必要です (Portal:スタブ)
"http://ja.uncyclopedia.info/wiki/%E6%A0%97%E3%81%BE%E3%82%93%E3%81%98%E3%82%85%E3%81%86%E5%95%8F%E9%A1%8C" より作成