数学的帰納法

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数学的帰納法(すうがくてききのうほう)とは、数学における証明方法の一つである。手順は、

  1. f(1) は真である。
  2. ある自然数 k について、f(k)が真であれば、f(k+1) も真である。

上記の二つを示す事により、全ての自然数 n について f(n) が真であることが言える (f(1) が真なので f(2) も真、f(2) も真なので f(3) も真…と続けることができる)。最初の 1 はある任意の整数 a から始める、すなわち f(a) が真であることから示す、と言った使い方も可能で、その場合は a 以上の全ての整数 n について証明したこととなる。

証明の適用例[編集]

  • 髪の毛の本数をnとする。n=1のとき、その人は禿だ。ここで、n=kの人を禿だと仮定すると、それに1本追加したn=k+1の人も禿だ。以上から数学的帰納法により全てのnについて、その人は禿であることが示された。ここで、人間の髪の毛の本数は明らかに自然数であるから、すべての人は禿である。
  • あなたは一円ぐらいなら私にあげても良いと思っている。また、お金をあげるとするならさらに一円追加するぐらいなら良いと思っている。故に、あなたは全財産を私に譲っても良いと思っている(この証明が納得できないなら、「一円」を「一銭」などに換えてみよ)。
  • あなたはコーヒー1杯程度なら払ってもよいと思っている。また、さらにもう1杯程度を追加するくらいなら良いと思っている。故にあなたは、この数十万円の健康食品を買っても良いと思っている(あなたは納得できないかもしれないが、多くの人はこの証明に納得して、セールスマンから高い買い物をしている)。
  • 一秒勉強したぐらいでは知識は付かない。知識が付いていない時、さらに一秒勉強したぐらいではまだ知識は付かない。故に勉強を何時間しても知識は付かなく、勉強と言う行為は無意味である(この証明が納得できないなら、「一秒」を「一ナノ秒」などに換えてみよ)。
  • 人質が1人の場合、もしその人を殺してしまうと盾となるものがなくなる。よって人質1人かかえたところで無駄である。2人の場合、もし一方を殺すと残り1人になるが、1人の場合は無駄であることは既に証明済みである。よって2人の場合も無駄である。故に人質が何人いようが、籠城は失敗に終わる。
  • あなたは現在事故に遭っていない。そしてある時刻に事故に遭っていなければ、明らかにその1秒後にも事故に遭っていない。故にあなたは今後一生事故に遭うことはない(この証明が納得できないなら、「一秒」を「一ナノ秒」などに換えてみよ)。
  • 中二病患者は「一度くらいなら...」と言ってタバコ・酒に手を出す。その次に同じことを考えて手を出せば、絶対にまた次も同じ過ちを冒す。よって依存症が帰納法により証明された。
  • ご飯粒 1粒は容易に食べられる。k粒のご飯を食べられると仮定すると、何とかもう一粒食べて、せめてk+1粒のご飯を食べることができる。よって、ご飯をいくらでも食べられることが証明された。
  • 文字が一文字の記事はアンサイクロペディア内では削除される。また、削除される記事に文字を一つ加えた程度では存続を認められず削除となる。これによりアンサイクロペディア内の全ての記事が削除の対象となり、アンサイクロペディア内の記事は0になる。
  • 記事が一つしかないアンサイクロペディアは軽い。また、軽いアンサイクロペディアに一つぐらい記事を足してもまだ軽い。よって、アンサイクロペディアの記事は1兆個になっても1無量大数個になっても軽いままである。
  • 人間は1m走っただけでは疲れない。さらに1m走っても疲れない。よって、人間はいくら走っても疲れない(この証明が納得できないなら、「1m」を「1ナノm」などに換えてみよ)。
  • #FF0000という色は赤に見える。赤に見える色の色成分を1ポイントくらい増減させても(#FE0000など)、やはり赤に見える。よって#000000や#00FFFFも赤に見える。

1=2を使う方法[編集]

なお、1=2であることを使えば、最初に示した手順は1だけで済む。何故なら、1=2より3=1+2=1+1=2=1、4=3+1=1+1=2=1…とすることにより、1は全ての自然数となり、f(1) を示すと言う事は全ての自然数 n について f(n) が真であることと同値となるからである。

この式を使う事により証明は大幅に簡略化され、「髪の毛が1本の人は禿である」と定義するだけで、全ての人間は禿であることが容易に証明できる。

関連項目[編集]

Wikipedia
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