中間値の定理

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中間値の定理(ちゅうかんち-ていり)とは、人間の心理にぴったり当てはまる定理である。

概要[編集]

中間値の定理を説明するためのグラフ

中間値の定理とは、

ある区間[a,b]で連続の関数f(x)において、f(a)≠f(b)のとき、f(a)とf(b)の間にある任意値kと、a<c<bを満たす実数cに対して、

f(c)=k

を満たすcが少なくとも1つはある

ということである。何?よく分からない?

分かりやすい解説[編集]

それじゃあとりあえず下の文章を読んでくれたまえ。

高校生のA君が、2km離れたB学校に向かいます。その途中には、好意を寄せているCさんの家があります。

さて、A君はどんな行動を取りますか?

答えは実に自明である。

A君は、少なくとも1回はCさんの家の前を通り、Cさんに「一緒にB学校に行こう」と誘うかどうか迷う。もしくは本当に誘う。

もし答えが上のようにならない人は、悪いけど現代の数学では解明できないので英文古文でも読んでいましょう。

次に、上の答えと中間値の定理とどう関係するのかを説明する。

まずは前提条件として、

  • x軸は経過した時間
  • y軸はそれぞれの建物の位置
  • f(a)はA君の自宅の位置
  • f(b)はB学校の位置
  • f(c)はCさんの自宅の位置
  • f(x)は時間xにおけるA君の位置

を表す。

それでは実際に説明してみる。

ある区間[a,b]で連続
これは「a分からb分まで土管で居眠りなどをせずに歩く」という意味である。
関数f(x)において
この関数のグラフは「単調増加のときはA君は学校方面に進んでいて、単調減少のときはA君はA君宅方面に進んでいる」ことを表す。
f(a)≠f(b)のとき
これは「A君の自宅がB学校の敷地内に存在しないとき」という意味である。
f(a)とf(b)の間にある任意値k
これは「A君宅からB学校までの道のりの間に寄り道をしたくなるkという場所がある」という意味である。
a<c<bを満たす実数cに対して、f(c)=kを満たす
これは「A君が寄り道をしたくなる場所がCさんの自宅」という意味である。
cが少なくとも1つはある
これは「1回は必ずCさんの自宅の前を通るが、途中で引き返して再びCさん宅の前を通り、その後学校に向かうときに再度Cさん宅の前を通るかも知れない」という意味である。

疑問点[編集]

しかし、この定理にはある欠点がある。「少なくとも1回って実際には何回なのか」ということである。

これは人それぞれである。自分は非常にモテると思う人はCさん宅の前は1回しか通らないだろうし、どうしてもCさんと付き合いたいしつこい人は何度もCさん宅の前を通るだろう。しかし、グラフがグニャグニャ曲がって複雑な形をしていると生徒から嫌われるのと同じように、何度もCさん宅の前をウロウロしているとCさんからストーカー扱いされるので注意が必要である。数学はどのくらい注意すればよいかは全く教えてくれないので、あとはあなたが考えること。

関連項目[編集]